Molare Wärmekpazität

Question

Aufgabe: Die molare Wärmekapazität eines Gases lässt sich anhand des sogenannten

Gleichverteilungssatzes über die Freiheitsgrade abschätzen. Nutzen Sie dies, um die
Wärmekapazität eines einatomigen Gases herzuleiten.

Answer 1

Molare Wärmekapazität

Molare Wärmekapazität eines idealen einatomigen Gases, C_{v ,m} = ³⁄₂ R und C_p,m = ⁵⁄₂ R

Aufgabe: Die molare Wärmekapazität eines Gases lässt sich anhand des sogenannten Gleichverteilungssatzes über die Freiheitsgrade abschätzen. Nutzen Sie dies, um die Wärmekapazität eines einatomigen Gases herzuleiten.

Aus dem Gleichverteilungssatz kann man für den Druck und der Volumarbeit eines idealen Gases unter der Annahme gleicher kinetischer Energie pro Teilchen(Atom), d.h. gleiches Geschwindigkeitsquadrat, also ein über die durchschnittliche kin. Energie der Teilchen gemitteltes Geschwindigkeitsquadrat, die Gleichung 1 herleiten.

Annahme:

Ein Atom hat die durchschnittliche kinetische Energie von:
$$\bar{e_{kin}}  = \frac{m}{2}\cdot \left[\dfrac{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2} + \dots + v_{n}^{2}}{N}\right]$$
$$\bar{e_{kin}} = \frac{m}{2}\cdot \bar{v^{2}}$$

Die Gesamte Kinetische Energie ergibt sich dann auch zu :
$$\bar{E_{kin}} = N\cdot \bar{e_{kin}} = N\cdot \dfrac{m}{2}\cdot \bar{v^{2}}$$

Gleichung 1, Gl. 1

$$PV = \dfrac{n*M\cdot \bar{v^{2}}}{3} = nRT $$

Gleichung 2, Gl. 2

$$pVm = \dfrac{M\cdot v^{2}}{3} = RT$$

$$\Rightarrow \dfrac{M\cdot \bar{v^{2}}}{2} = \frac{3}{2}\cdot RT$$

n mol eines 1atomigen idealen Gases wird bei konstantem Volumen erwärmt, dabei steigt die absolute von anfangs T₁ auf die höhere Endtemperatur T₂, also um Δ T = T₂ - T₁.

Dabei erhöht sich die durchschnittliche Kinetische Energie von:
$$\frac{M\cdot \bar{v_{1}^{2}}}{2}$$
auf
$$\frac{M\cdot \bar{v_{2}^{2}}}{2}$$

$$\Delta U = Q_{v} = \dfrac{n*M}{2}\cdot [\bar{v_{2}^{2}} - \bar{v_{1}^{2}}] = n\cdot \frac{3}{2}\cdot R\cdot \Delta T$$

Und für die molare Wärmekapazität gilt dann, bei konstantem Volumen :

$$C_{v,m} = \dfrac{\Delta U}{n\cdot \Delta T} = \frac{3}{2}\cdot R$$

Bei konstantem Druck, p = const., gilt :

$$\Delta H = Q_{p} = \Delta U + p\cdot \Delta V$$

Mit pΔ V = nR ΔT

$$\Delta H = Q_{p} = \Delta U + nR\cdot \Delta T$$

$$\Delta H = n \cdot C_{v,m}\cdot \Delta T+ nR\cdot \Delta T$$

$$\Delta H = n \cdot \frac{3}{2}\cdot R\cdot \Delta T+ nR\cdot \Delta T$$

$$C_{p,m} = \dfrac{\Delta H}{n\cdot \Delta T} = \frac{3}{2}\cdot R + R$$

$$C_{p,m} = \frac{3}{2}\cdot R + \frac{2}{2}\cdot R = \frac{5}{2}\cdot R$$