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Um den Dissoziationsgrad von Histidin in einer 0.1 molaren Lösung zu berechnen, verwenden wir die gegebenen Informationen zum pKs-Wert von Histidin und die Formel zur Berechnung des Dissoziationsgrads (\(\alpha\)).
Dissoziationsgrad \(\alpha\)
Zuerst müssen wir den Dissoziationsgrad definieren. Der Dissoziationsgrad \(\alpha\) gibt an, welcher Anteil der ursprünglichen Stoffmenge dissoziiert vorliegt. Er kann durch die Gleichung
\(
\alpha = \frac{{\text{Konzentration der dissoziierten Form}}}{{\text{Anfangskonzentration der Säure}}}
\)
beschrieben werden. In diesem Fall ist die dissoziierte Form \(His\), und die Anfangskonzentration der Säure ist 0.1 M.
Umrechnung von pKs in Ks (Ka)
Der pKs-Wert (oder pKa-Wert) von Histidin ist 6. Um den Ks-Wert (Ka-Wert für Säuren) zu berechnen, nutzen wir den Zusammenhang, der im Hinweis gegeben wurde: \(pKa = – \log(Ka)\).
Umgestellt nach Ka ergibt das:
\(
Ka = 10^{-pKa} = 10^{-6}
\)
Daraus folgt:
\(
Ka = 10^{-6} \text{ M}
\)
Berechnung des Dissoziationsgrads
Wir wissen, dass im Gleichgewichtszustand die Gleichgewichtskonstante Ka gegeben ist durch die Gleichung:
\(
Ka = \frac{{[\text{H}_3\text{O}^+][\text{His}]}}{{[\text{His-H}]}}
\)
Wir nehmen an, dass die Konzentration von \(His-H\) trotz Dissoziation ungefähr 0.1 M bleibt. Da die Dissoziation gering ist, ist dies eine gültige Annahme.
Wenn ein kleiner Teil \(x\) von Histidin dissoziiert, dann gilt:
\(
Ka = \frac{x \cdot x}{0.1 - x} \approx \frac{x^2}{0.1}
\)
Dabei ist \(x\) die Konzentration von \(His\) und auch von \(H_3O^+\), weil für jedes dissoziierte \(His-H\) Molekül eines dieser Ionen entsteht.
Wir setzen den Wert für Ka ein:
\(
10^{-6} = \frac{x^2}{0.1}
\)
Lösen nach \(x^2\):
\(
x^2 = 10^{-6} \times 0.1 = 10^{-7}
\)
Daraus ergibt sich für \(x\):
\(
x = \sqrt{10^{-7}} = 10^{-3.5}
\)
Daraus folgt \(x = 0.000316 \, \text{M}\).
Um den Dissoziationsgrad zu berechnen:
\(
\alpha = \frac{x}{0.1} = \frac{0.000316}{0.1} = 0.00316
\)
Um diesen Wert als Prozent auszudrücken, multiplizieren wir ihn mit 100:
\(
\alpha \% = 0.00316 \times 100 = 0.316\%
\)
Fazit:
Etwa 0.316% der Histidinmoleküle in einer 0.1 molaren Lösung sind tatsächlich dissoziiert.
