Hi, hier chemweazle,
Zur Isothermen, reversiblen Expansion eines perfekten Gases (Ar)
Aufgabe: 2.5mol Argon werden bei 298K reversibel von einem Anfangsvolumen von 10L solange expandiert, bis der Enddruck1bar beträgt. Um diesen Vorgang bei einer konstanten Temperatur durchzuführen, wird ein umgebendes Wärmebad auf konstanter Temperatur gehalten.
Berechnen Sie die Verichtete Arbeit
$$w = nRT\cdot ln\left(\dfrac{V_{Ende}}{V_{Anfang}}\right)$$
Nun ist auch der Druck am Ende der Expansion gegeben, pEnde = 1 bar = 100.000 N / m2.
Man kann nun einerseits mit dem idealen Gasgesetz das Volumen VEnde beim Enddruck, p Ende ausrechnen, oder man rechnet den Druck am Anfang, pAnfang aus dem Anfangsvolumen, VAnfang aus.
$$w = nRT\cdot ln\left(\dfrac{V_{Ende}}{V_{Anfang}}\right) = w = nRT\cdot ln\left(\dfrac{p_{Anfang}}{p_{Ende}}\right)$$
mit der Beziehung :
$$\dfrac{V_{Ende}}{V_{Anfang}} = \dfrac{p_{Anfang}}{p_{Ende}}$$
Aus der Boyle´schen Beziehung: p * V = const. = pEnde * VEnde = pAnfang * VAnfang, folgt durch Umstellen nach dem Volumenverhältnis:
$$\dfrac{V_{Ende}}{V_{Anfang}} = \dfrac{p_{Anfang}}{p_{Ende}}$$
Anfangszustand:
VAnfang = 10 l = 0,01 m3, T = 298 K = const., n = 2,5 mol
$$p_{Anfang} = \dfrac{nRT}{V_{Anfang}$$
$$p_{Anfang} = \dfrac{2,5\cdot mol\cdot 8,314 Nm\cdot 298\cdot K}{mol\cdot K\cdot 0,01\cdot m^{3}}$$
$$p_{Anfang} = 2,5\cdot 100\cdot 8,314\cdot 298\cdot \frac{N}{m^{2}} = 619.393\cdot \frac{N}{m^{2}}$$
$$p_{Anfang} = 6,19393\cdot bar$$
$$\dfrac{p_{Anfang}}{p_{Ende}} = \frac{6,19393\cdot bar}{1\cdot bar} = 6,19393$$
$$ln\left(\dfrac{p_{Anfang}}{p_{Ende}}\right) = ln(6,19393) \approx 1,8236$$
$$w = \dfrac{2,5\cdot mol\cdot 8,314\cdot Nm\cdot 298\cdot K}{K\cdot mol}\cdot ln(6,19393)$$
w = 2,5 * 8,314 * 298 * Nm * 1,8236 = 11295,250748 Nm ≈ 11,295 KJ
Alternativer Weg:
Man errechnet das Endvolumen, VEnde beim Enddruck, pEnde = 1 bar, mit dem idealen Gasgesetz.
$$V_{Ende} = \dfrac{nRT}{p_{Ende}}$$
mit pEnde = 1 bar = 100.000 N /m2, n = 2,5 mol und T = 298 K
$$V_{Ende} = \dfrac{2,5\cdot mol\cdot 8,314\cdot Nm\cdot 298\cdot K\cdot m{2}}{K\cdot mol\cdot 100000\cdot N}$$
VEnde = 0,0619393 * m3 = 61,9393 l
