Grüße chemweazle,
Der thermodynamische Wirkungsgrad
a) Vergleichen Sie den thermodynamischen Wirkungsgrad einer einfachen Dampfmaschine, die mit Dampf von 100°C arbeitet, der bei 55 °C wieder abgegeben wird - mit dem einer modernen Dampfturbine, die mit 300 °C heißem Dampf arbeitet,der bei 70 °C abgegeben wird.
$$\eta = \dfrac{T_{warm} - T_{kalt}}{T_{warm}} = 1 - \dfrac{T_{kalt}}{T_{warm}}$$
Dampfmaschine
θwarm = 100°C = Twarm = 373,16 K
θkalt = 55°C = Tkalt = 328,16 K
$$\eta = 1 - \dfrac{328,16\cdot K}{373,16\cdot K}$$
$$\eta \approx 0,121 \approx 12\% $$
Anm.: Der Wasser-Dampf mit der Siedetemperatur hat keinen Überdruck, am Siedepunkt ist der Dampfdruck betragsgleich dem Atmosphäredruck, die Differenz der beiden Drücke ist Null. Mit Wasserdampf von 100 Grad Celsius kann kein Kolben oder Schaufelrad bewegt werden. Der Dampf muß überhitzt werden, das geschieht in sog. Überhitzer- Röhren, Überhitzer- Rohrschlangen, die von außen beheizt werden.
Dampfturbine
θwarm = 300°C = Twarm = 573,16 K
θkalt = 70°C = Tkalt = 343,16 K
$$\eta = 1 - \dfrac{343,16\cdot K}{573,16\cdot K}$$
$$\eta \approx 0,401 \approx 40 \%$$
b) Mit Hilfe der gleichen Argumentation, die wir für den Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine benutzten, können wir auch den Wirkungsgrad einer Kältemaschine beschreiben.
Je weniger Energie dabei benötigt wird, desto effizienter arbeitet die Maschine. Als Beispiel dienen hierfür neben Kühlschränken, sogenannte Wärmepumpen.
Während die „Vorderseite“ die Umgebung abkühlt, wird auf der „Rückseite“ Wärme gewonnen. Solche Wärmepumpen sind tatsächlich sehr effizient und werden sogar zum Beheizen von Wohngebäuden eingesetzt. Definieren Sie zunächst den Wirkungsgrad der Wärmepumpe.
Vergleichen Sie die erzeugte Wärmeenergie eines Elektroheizgerätes und einer reversiblen Wärmepumpe, deren Außenseite auf 260 K temperiert ist. Beide heizen ein Zimmer bei 295 K und laufen mit 1 kJ Elektroenergie. Woher resultiert der Unterschied der Energien?
*****************************************************************************************
Herleitung des Thermodynamischen Wirkungsgrades, c, einer reversibel arbeitenden Wärmepumpe(Kältemaschine)
$$c = \dfrac{Q_{kalt}}{w}$$
Mit
$$Q_{warm} = Q_{kalt} + w$$
$$c = \dfrac{Q_{kalt}}{Q_{warm} - Q_{kalt}}$$
Das kalte Wärmeresevoir hat eine hohe Wärmekapazität, wird die Wärme Qkalt entnommen bleibt die Temperatur des Reservoirs, trotz der Wärme-Entnahme, konstant.
Würde die Niedertemperaturwärme dem wärmeren Reservoir mit der Temperatur, Twarm zugeführt werden, so wäre die Gesamt-Entropie kleiner NUll, also negativ.
Sie darf aber minimal Null sein bei physikal. reversiblen Vorgängen.
$$\Delta S_{ges} = \dfrac{-Q_{kalt}}{T_{kalt}} + \dfrac{Q_{kalt}}{T_{warm}} < 0$$
Aber durch die Zuführung der Niedertemperatur-Wärme mit Mech. Arbeit, w, Qwarm = Qkalt + w, wird die Gesamt-Entropie mindestens Null, bei der reversiblen Prozeßführung.
$$\Delta S_{ges} = \dfrac{- Q_{kalt}}{T_{kalt}} + \dfrac{- Q_{kalt} + w}{T_{warm}} \ge 0$$
$$\Delta S_{ges} = \dfrac{- Q_{kalt}}{T_{kalt}} + \dfrac{- Q_{warm}}{T_{warm}} \ge 0$$
Die Gesamt-Entropieänderung bei einer physikalisch reversibel arbeitenden Kältemaschine(Wärmepumpe) ist Null.
ΔSges = 0
$$\Delta S_{ges} = 0 = \dfrac{- Q_{kalt}}{T_{kalt}} + \dfrac{Q_{warm}}{T_{warm}}$$
$$Q_{warm} = Q_{kalt}\cdot \left(\dfrac{T_{warm}}{T_{kalt}}\right)$$
$$Q_{warm} - Q_{kalt} = Q_{kalt}\cdot \left(\dfrac{T_{warm}}{T_{kalt}}\right) - Q_{kalt}$$
$$Q_{warm} - Q_{kalt} = Q_{kalt}\cdot \left(\dfrac{T_{warm}}{T_{kalt}} - 1\right)$$
$$Q_{warm} - Q_{kalt} = Q_{kalt}\cdot \left(\dfrac{T_{warm} - T_{kalt}}{T_{kalt}}\right)$$
$$c = \dfrac{Q_{kalt}}{Q_{warm} - Q_{kalt}} = \dfrac{T_{kalt}}{T_{warm} - T_{kalt}}$$
$$\Delta S_{ges} = 0 = \dfrac{- Q_{kalt}}{T_{kalt}} + \dfrac{Q_{warm}}{T_{warm}}$$
$$Q_{warm} = Q_{kalt}\cdot \left(\dfrac{T_{warm}}{T_{kalt}}\right)$$
$$Q_{warm} - Q_{kalt} = Q_{kalt}\cdot \left(\dfrac{T_{warm}}{T_{kalt}}\right) - Q_{kalt}$$
$$Q_{warm} - Q_{kalt} = Q_{kalt}\cdot \left(\dfrac{T_{warm}}{T_{kalt}} - 1\right)$$
$$Q_{warm} - Q_{kalt} = Q_{kalt}\cdot \left(\dfrac{T_{warm} - T_{kalt}}{T_{kalt}}\right)$$
$$c = \dfrac{Q_{kalt}}{Q_{warm} - Q_{kalt}} = \dfrac{T_{kalt}}{T_{warm} - T_{kalt}}$$
*****************************************************************************************
Ermittlung des Thermodyn. Wirkungsgrades, c, der rev. arbeitenden Wärmepumpe und der beiden Wärmen, der Niedrigtemperatur-Wärme und der Hochtemperatur-Wärme
Tkalt = 260 K und Twarm = 295 K, w = 1 KJ
$$c = \dfrac{T_{kalt}}{T_{warm} - T_{kalt}} = \dfrac{Q_{kalt}}{w}$$
$$c = \frac{260\cdot K}{[295 -260]\cdot K} = \frac{260}{35} = \frac{52}{7} = 7 + \frac{3}{7} \approx 7,429$$
$$Q_{kalt} = c\cdot w$$
$$Q_{kalt} = 7,429\cdot 1\cdot KJ = 7,429\cdot KJ$$
$$Q_{warm} = Q_{kalt} + w = c\cdot w + w = w\cdot (c + 1)$$
$$Q_{warm} = 1\cdot KJ\cdot (1 + 7,429) = 8,429\cdot KJ$$
Zum Vergleich die elektrische Beheizung die laut Text in der obigen Aufgabe "mit 1 KJ arbeitet".
Eigentlich ist hier wohl die Leistung dieser Elektrischen Heizung gemeint. Denn diese schafft es ja auch die Wärme-Energie(Hochtemperatur-Wärme), Qwarm = 8,429 KJ durch Umwandlung von Elektrischer Energie in Wärme, zu erzeugen, sie muß nur eine Weile heizen, "laufen".
$$Q_{warm} = w = w_{el} = U\cdot I\cdot t = \frac{1\cdot KJ}{s}\cdot t$$
$$Q_{warm} = 8,429\cdot KJ = \frac{1\cdot KJ}{s}\cdot 8,429\cdot s$$
Der Wirkungsgrad der Elektrischen Heizung, WG(elektr.), in Bezug auf die Energie-Umwandlung von Elektrischer Arbeit in die Hochtemperaturwärme, Qwarm ist gleich Eins.
wel = U * I * t = P * t = Qwarm
$$WG(elektr.) = \dfrac{Q_{warm}}{w_{el}} = \dfrac{w_{el}}{w_{el}} = 1 = 100\%$$
Bei der Wärmepumpe hingegen wird ein sehr großer Teil von Nieder-Temperatur-Wärme durch adiabatische Kompression auf Qwarm unter Aufbringen von 1 KJ mechan. oder elektr. Arbeit gebracht.
