Grüße chemweazle,
Die realen Mischungen
Aufgabe: In einer realen binären Mischung aus n-Hexan und 1-Hexanol betrage der Stoffmengenanteil von 1-Hexanol x(1-Hexanol) = 0,80. Die Dichte der Mischung betrage ρ = 0,7986 g / cm3 ⁄ .Wie groß ist das partielle molare Volumen von n-Hexan in dieser Mischung, wenn das molare Volumen von 1-Hexanol Vm(1-Hexanol) = 125,27 cm3 ⁄ mol beträgt?
Abkürzungen
A : steht für n-Hexan es ist die Komponente A, B: steht für 1-Hexanol, der Komponente B
xA = x(n-Hexan), xB = x(1-Hexanol)
1 = xA + xB
V : Volumen der binären, realen MIschung, Vm : Molvolumen der realen, 2-Komponenten-Mischung
Gesamtstoffmenge : n = nA + nB
Das gesuchte Partielle Molvolumen von n-Hexan lautet formal:
$$V_{A, m} = \left(\dfrac{\partial V}{\partial n_{A}}\right)_{n_{B}}$$
Das partielle Molvolumen, VB, m, von 1-Hexanol, der Komponente B in der realen MIschung, beträgt 125,27 ml / mol. Dieses binäre, reale Gemisch besteht aus n-Hexan, Komponente A und 1-Hexanol, Komponente B. Die Stoffmengenanteile betragen für das n-Hexan 0,2 (ein Fünftel) und 0,8(vier Fünftel) für die Komponente B, dem 1-Hexanol.
$$V_{B, m} = \left(\dfrac{\partial V}{\partial n_{B}}\right)_{n_{A}} = 125,27\cdot \frac{ml}{mol}$$
Es gilt für das Volumen der binären, realen Mischung, V :
$$V = n_{A}\cdot V_{A, m} + n_{B}\cdot V_{B, m}$$
$$V = n_{A}\cdot \left(\dfrac{\partial V}{\partial n_{A}}\right)_{n_{B}} + n_{B}\cdot \left(\dfrac{\partial V}{\partial n_{B}}\right)_{n_{A}}$$
Diese obigen Ausdrücke geteilt durch Die Gesamtstoffmenge, n = nA + nB ergibt die Gleichung für das Molvolumen der Mischung, Vm :
Das Molvolumen einer realen Mischung setzt sich aus den Summanden der Produkte Molenbrüche multipliziert mit den jeweiligen Partiellen Molvolumen zusammen.
$$V_{m} = \frac{V}{n} = \dfrac{V}{n_{A} + n_{B}}$$
$$V_{m} = \dfrac{n_{A}}{(n_{A} + n_{B})}\cdot V_{A, m} + \dfrac{n_{B}}{(n_{A} + n_{B})}\cdot V_{B, m}$$
$$V_{m} = x_{A}\cdot V_{A, m} + x_{B}\cdot V_{B, m}$$
$$V_{m} = x_{A}\cdot \left(\dfrac{\partial V}{\partial n_{A}}\right)_{n_{B}} + x_{B}\cdot \left(\dfrac{\partial V}{\partial n_{B}}\right)_{n_{A}}$$
$$V_{A, m} = \dfrac{V_{m} - x_{B}\cdot V_{B, m}}{x_{A}} = \left(\dfrac{\partial V}{\partial n_{A}}\right)_{n_{B}}$$
Bestimmung des Molvolumens dieser realen, binären MIschung mit Hilfe der angegebenen Dichte, ρ = 0,7986 g / cm3
Die Dichte ist die Gesamtmasse, bestehend aus der Masse an n-Hexan, mA und der Masse an 1-Hexanol, mB geteilt durch das Gemischvolumen, V, der realen Mischung.
für die beiden Massen im Zähler der Dichte kann man auch schreiben: mA = nA * MA und entsprend für mB = nB * MB
Das Volumen der binären, realen MIschung läßt sich mit der Gesamtstoffmenge mal dem Molvolumen dieser Mischung audrücken, V = n * Vm = ( nA + nB ) * Vm
$$\rho = \dfrac{m_{A} + m_{B}}{V} = \dfrac{n_{A}\cdot M_{A} + n_{B}\cdot M_{B}}{n\cdot V_{m}}$$
Mit den Molenbrüchen, Stoffmengenanteilen
$$x_{A} = \dfrac{n_{A}}{n} = 0,2 = \frac{1}{5}$$
$$x_{B} = \dfrac{n_{B}}{n} = 0,8 = \frac{4}{5}$$
gilt dann für Dichte:
$$\rho = \dfrac{x_{A}\cdot M_{A} + x_{B}\cdot M_{B}}{V_{m}}$$
Daraus folgt für das Molvolumen der realen, binären Mischung:
$$V_{m} = \dfrac{x_{A}\cdot M_{A} + x_{B}\cdot M_{B}}{\rho}$$
Molmassen von n-Hexan und 1-Hexanol
M(C6H14) = (12,011*6+1,0079*14) g / mol = 86,1766 g / mol
M(C6H14O) = (12,011*6+1,0079*14+15,9994) g / mol = 102,176 g / mol
$$V_{m} = \dfrac{(0,2\cdot 86,1766 + 0,8\cdot 102,176)\cdot g\cdot ml}{mol\cdot 0,7986\cdot g}$$
$$\green{V_{m} \approx 123,937\cdot \frac{ml}{mol}}$$
Nun ergibt sich für das partielle Molvolumen von n-Hexan, Komponente A in dieser Mischung mit 1-Hexanol:
$$V_{A, m} = \dfrac{V_{m} - x_{B}\cdot V_{B, m}}{x_{A}} = \left(\dfrac{\partial V}{\partial n_{A}}\right)_{n_{B}}$$
$$V_{A, m} = \frac{(\green{123,937} - 0,8\cdot 125,27)\cdot ml}{0,2\cdot mol} = 118,605\cdot \frac{ml}{mol}$$
