Grüße chemweazle,
Chemische Potentiale und Massenwirkungsgesetz,Clausius-Clapeyron-Gleichung
Aufgaben:
Aufgabe 1: Chemische Potentiale und Massenwirkungsgesetz
Gegeben sei eine Gleichgewichtsreaktion in Lösung.
A + B ⇌ C + D
Zeigen Sie, dass sich bei T,p = const. das Massenwirkungsgesetz aus der Summe der chemischen Potentiale der beteiligten Substanzen ergibt.
Hinweis: Verwenden Sie, dass das chemische Potential einer Komponente i in einer Mischung wie folgt von dessen Aktivität ai abhängt: μi = μi0 + RT In( ai)
Aufgabe 2: Clausius-Clapeyron-Gleichung
Sie wollen in einem geschlossenen Reaktor eine Reaktion in wässriger Lösung bei einer Temperatur von 120°C durchführen. Der Reaktor ist für einen Druck bis 5 bar zugelassen. Berechnen Sie mit Hilfe der Clausius-Clapeyron-Gleichung, ob der Druck im Reaktor den zulässigen Maximaldruck überschreitet. Die molare Verdampfungsenthalpie von Wasser beträgt 40,7 kJ/mol.
Hinweise: Nutzen Sie als Startwerte für den Sättigungsdampfdruck und die Temperatur die geläufigen Werte für die Verdampfung von Wasser in einem offenen Behälter. Nehmen Sie außerdem an, dass sich Wasserdampf als ideales Gas verhält und dass das Volumen des flüssigen Wassers vernachlässigbar klein ist.
Zum Teil 1
$$\mu = \left(\dfrac{\partial G}{\partial n}\right)_{T,p} = \frac{G}{n} = G_{m}$$
Reaktion
A + B ⇌ C + D
ΔRμ = ΔRGm = μ(D) + μ(C) - μ(A) -μ(B)
ΔRμ = ΔRGm = ∑ νiμi(Produkte) - ∑ νiμi(Edukte)
νi : Abkürzung für den jeweiligen stöchiometrischen Koeffizient
MIt μ(A) = μ(A)0 + RT ln(a(A)) oder μ(A) = μ(B)0 + RT ln(a(B)), folgt:
ΔRμ = μ(D)0 + RT ln[a(D)] + μ(C)0 + RT ln[a(C)] - { μ(B)0 + RT ln[a(B)] + μ(A)0 + RT ln[a(A)] }
ΔRμ = ΔRGm = μ(D)0 + μ(C)0 - μ(B)0 - μ(A)0 + RT * { ln[a(D)] + ln[a(C)] - ln[a(A)] - ln[a(B)] }
$$ \Delta _{R}\mu = \Delta _{R}\mu ^{0} + RT\cdot ln\left[\dfrac{\blue{a(C)\cdot a(D)}}{\red {a(A)\cdot a(B)}}\right]$$
Für eine noch laufende Reaktion, die noch nicht zu Ende ist, also noch nicht den Endzustand, den Gleichgewichtszustand erreicht hat, ist der Bruchterm im Argument des Logarithmus der Reaktionsquotient, Q, und ist somit verschieden von der Gleichgewichtskonstante.
ΔRμ = ΔRGm = Δ μ0 + RT ln{ Q }
Andere Schreibweise:
ΔRGm = ΔRGm0 + RT ln { Q }
Erst am Ende der Reaktion im Gleichgewichtszustand ist Δ μR = 0 und der Reaktionsquotient erreicht den Wert der Gleichgewichtskonstanten.
Gleichgewichtszustand: ΔRμ = ΔRGm = 0 und Q = Kgl, Kgl ist die Gleichgewichtskonstante
0 = Δ μ0 + RT ln{ Kgl }
0 = ΔRGm0 + RT ln{ Kgl }
Zum Teil 2
Eigentlich müßte man mit der aus der Clausius-Clapeyron´schen Gleichung abgeleiteten Dampfdruckformel den Dampfdruck des Wassers für die Temperatur von θ = 120°C abschätzen.
Die Dampfdruckformel ist die August`sche Gleichung.
Die Fragestellung könnte auch lauten, bei welchem höheren Druck siedet das Wasser bei der Temperatur von 120°C?
$$ln\left(\dfrac{p_{2}}{p_{1}}\right) = \dfrac{\Delta _{verd}H_{m}}{R}\cdot \left(\dfrac{1}{T_{1}} - \dfrac{1}{T_{2}}\right)$$
Beim Standarddruck, p* = 1,01325 bar hat das Wasser die Siedetemperatur von 100°C, entsprechend Ts = 373 K.
Beim Siedepunkt, θs, bzw. Ts ist der Dampfdruck der kochenden Flüssigkeit betragsgleich dem Atmosspärendruck.
Für Wasser: p = p* = 1,013 bar ≈ 1 bar, θs = 100°C = Ts = 373 K
Der Dampfdruck bei der Temperatur θ = 120°C = T = 393 K, wird mit p abgekürzt.
$$ln\left(\dfrac{p}{p*}\right) = \dfrac{\Delta _{verd}H_{m}}{R}\cdot \left(\dfrac{1}{T_{s}} - \dfrac{1}{T}\right)$$
Weg
$$ln\left(\dfrac{p}{p*}\right) = ln(v)$$
v = e^{ln(v)} = \dfrac{p}{p*}
p = v * p*
Dann erhebe man den ln(p / p*) in die Potenz und erhält das Dampfdruckverhältnis, v. Dieses multiplizire man mit dem Standarddruck, p*
Mit
$$\dfrac{\Delta _{verd}H_{m}}{R} = \frac{40.700\cdot J\blue{\cdot K\cdot mol}}{mol\cdot \blue{8,314\cdot J}} \approx 4.895,357\cdot K$$
und
Rechne mit der "August´schen Dampfdruck-Formel den Logarithmus(naturalis) des Dampfdruckverhältnisses aus. Dabei verwendet man nun die beiden Temperaturen, &thetas = 100°C und θ = 120°C.
| $$\dfrac{T – T_{s}}{T_{s}\cdot T} =$$ | $$= \dfrac{(393 -373)\cdot K}{373\cdot 393\cdot K^{2}} = \frac{20}{146589\cdot K} \approx 1,364\cdot 10^{-4}\cdot K^{-1}$$ |
$$ln\left(\dfrac{p}{p*}\right) \approx 4.895,357\cdot K \cdot 1,364\cdot 10^{-4}\cdot K^{-1}$$
$$ln\left(\dfrac{p}{p*}\right) \approx 0,668$$
$$\dfrac{p}{p*} = v \approx e^{0,668} \approx 1,95$$
p = 1,95 * p* = 1,95 * 1,013 bar ≈ 1,98 bar , weiter aufgerundet knapp 2 bar
Wasser siedet beim fast doppelten Atmosphärendruck bei 120°C.
Dieser Druck liegt noch weit unterhalb der zulässigen 5bar-Grenze des Autoklaven.
