Wie groß ist die Gitterkonstante, wie groß ist die Dichte?

Question

Aufgabe:

Thalliumchlorid TlCl kristallisiert im CsCl-Typ mit einem kürzesten Tl+–Cl-
-Abstand von
333 pm. Wie groß ist die Gitterkonstante, wie groß ist die Dichte?

Problem/Ansatz:

Kann mir das jemand erklären. Es ist dringend weil so eine Aufgabe auch in der Uni Klausur vorkommen wird und ich es gar nicht verstehe. Danke

Answer 1

Grüße chemweazle,

TlCl (CsCl-Typ, kubisch), gegeben ist der Atomabstand , d(Tl-Cl) = 333 pm = r(Tl⁽⁺⁾) + r(Cl^(-)), gesucht ist die Gitterkonstante a und die Dichte des Einkristalls

Cäsiumchlorid-Typ, Koordination: 8 kubisch zu 8 kubisch, Das Kationenteilgitter und das Anionteilgitter sind beide jeweils cubisch primitiv.
In der Elementarzelle des CsCl-Typs befindet sich im Mittelpunkt des Elementarzellenwürfels ein Kation und an den 8 Ecken jeweils ein Achtel Anion.
$$Tl_{1}Cl_{\frac{8}{8}}$$

Die halbe Raudiagonale, ( dr / 2 ), des Elementarzellenwürfels entspricht dem dem Atomabstand d(Tl-Cl) = 333 pm = r(Tl⁽⁺⁾) + r(Cl^(-))

Die Raumdiagonale , dr , besteht aus 2 mal dem Kationradius( Kationdurchmesser)und 2mal dem Anionradius.

Und die Raumdiagonale eines Würfels(Cubus, Hexaeder) ist nach Pythagoras das Wurzel aus 3fache der Kantenlänge a.
$$dr = 2\cdot r(Cl^{(-)}) + 2\cdot r(Tl^{(+)}) = \sqrt{3}\cdot a$$
$$2\cdot [ r(Cl^{(-)}) + r(Tl^{(+)}) ] = \sqrt{3}\cdot a$$
$$a = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\cdot [ r(Cl^{(-)}) + r(Tl^{(+)}) ]$$
Mit der Erweiterung des Bruchs mit dem Faktor Wurzel aus 3, damit der Nenner rational wird.
$$a = \dfrac{2\cdot \sqrt{3}}{3}\cdot [ r(Cl^{(-)}) + r(Tl^{(+)}) ]$$
$$a = \dfrac{2\cdot \sqrt{3}}{3}\cdot 333\cdot pm$$
$$a\approx 384,5153\cdot pm$$
Volumen der Elementarzelle, V(EZ):
$$V(EZ) = a^{3} \approx (384,5153\cdot pm)^{3} = 56851362,2625\cdot pm^{3}$$

$$V(EZ) =  = 56.851.362,2625\cdot pm^{3} = 56.851.362,2625\cdot pm^{3} = 5,68513622625 \cdot 10^{7}\cdot pm^{3}$$
Das Elementarzellen-Volumen , V(EZ) in Kubikzentimeter, damit man bei der Dichte für Vergleiche die Einheit Gramm pro Kubikzentimeter erhält
$$V(EZ) = 5,68513622625 \cdot 10^{7}\cdot 10^{-30}\cdot cm^{3} = 5,68513622625 \cdot 10^{-23}\cdot cm^{3}$$

Mit

1 pm = 10^-12 m = 10^-10 cm

1 pm³ = [ 10-10 cm ] ³ = 10^-30 cm³

Masse eines Tl-Kations plus eines Chloridions

$$\dfrac{M(TlCl)}{N_{A}}\approx \dfrac{239,8363\cdot g\cdot mol}{mol\cdot 6,023\cdot 10^{23}} \approx 3,982\cdot 10^{-22}\cdot g$$

M(TlCl) = ( 204,3833+35,453 ) g / mol = 239,8363 g / mol

Dichte , ρ :

$$\rho = \frac{Masse Formeleinheiten }{V(EZ)} = \frac{3,982\cdot 10^{-22}\cdot g}{5,68513622625 \cdot 10^{-23}\cdot cm^{3}}$$
$$\rho \approx 0,7004\cdot 10^{-22+23}\cdot \dfrac{g}{cm^{3}} = 7,004\cdot g\cdot cm^{-3}$$