Exponentialfunktion: Sauerstoffgehalt eines Sees ist an der Wasseroberfläche 8.1 mg/l .

Question

Der Sauerstoffgehalt eines Sees beträgt an der Wasserobertläche 8,1 mg/l. In einer Wassertiefe von 20 Metern werden 5,9 mg/l gemessen.

a) Legen Sie zunächst eine lineare Abnahme des Sauerstoffgehalts zugrunde und geben Sie eine Formel an, die den \( O_2 \)-Gehalt als Funktion der Wassertiefe berechnet. Was konkret gibt in diesem Fall die Steigung k an?

b) Welcher \( O_2 \)-Gehalt sollte nach dem linearen Modell in 30 m Wassertiefe bestehen? In welcher Wassertiefe gibt es nach dem linearen Modell gar keinen Sauerstoff mehr?

c) Legen Sie nunmehr - mit den Angaben aus Punkt a) - eine exponentielle Abnahme des Sauerstoffgehaltes zugrunde. Stellen Sie das entsprechende Gesetz, das den funktionalen Zusammenhang zwischen den \( O_2 \)-Gehalt und der Wassertiefe angibt, auf. Wie groß ist die Abnahme pro Meter Tiefe in Prozent?

d) Welcher Sauerstoffgehalt besteht nach dem exponentiellen Modell in 30 m Wassertiefe? Um wie viel Prozent geht der Sauerstoffgehalt auf die folgenden 40 m Tiefe zurück?

Comments

Anmerkung
zu c.)
ich hätte gerechnet
f(x) = f₀*a^x
f(20) = 8,1*a²⁰ = 5,9
8,1*a²⁰ = 5,9
a = ( 5.9 / 8.1 )^{1/20}
a = 0.9843
f ( x ) = 8.1 * 0.9843^x
Prozentualer Abfall 1.57 %

mfg Georg

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Wann ist es sinnvoll, bei Exponentialfunktionen die Zahl e zu benutzen? Bzw. bei welcher Fragenstellung?

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Jede Exponentialfunktion kann in eine andere Exponentialfunktion
mit anderer Basis umgewandelt werden.

4^x = 3^z  | ln ()
ln ( 4^x ) = ln ( 3^z )
x * ln (4 ) = z * ln(3)
z = x * ln(4) / ln(3 )
z = x * 1.262

4^x = 3^{x*1.262}

Im Finanzsektor rechnet man beim Zineszins z.B. 4 %
K0 * 1.04^t

Bei Wachstum ( Bio ) oder Zerfall ( Radioaktivität ) mit der e-Funktion.

Die e-Funktion hat den Vorteil das sie sich mit der ln Funktion
( Umkehrfunktion ) aufhebt und von daher Vorteile beim rechnen
hat.

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Wenn ich die Wachstumsrate in % gegeben habe oder diese ausrechnen muss, muss ich die dann IMMER umrechnen ? Also 1 dazu zählen bei Vermehrung und dann mal 100 oder umgekehrt -1 dann mal 100, beim Abnahmeprozessen.

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Du kannst hier weiter Fragen stellen.

Beispiele

Angabe in %

6 %
Faktor ( 1 + 0.06 ) = 1.06

-5 %
Faktor ( 1 - 0.05 ) = 0.95

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Wieso haben sie dann bei c) nicht mit e gerechnet?  Wie könnte ich denn auf die 0,984279 kommen wenn ich die e-Funktion asuwähle :-/?

Und darf ich eigentlich das Minus von Lamda zu 20 ziehen ?

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Deine Rechnung stimmt. Jetzt kann umgewandelt werden.

\( e^{-0,015846 \cdot x}=f^{x} \quad | ln \\ -0,015846 \cdot x=x \cdot \ln (f) \\ ln(f) = 0.015846 \quad | e^{hoch} \\ f = 0.9843 = 98.43 \% \)

Abfall 1.75 %

Es geht doch weitaus schneller wenn man direkt so rechnet wie ich es oben angeführt habe. Es wurde nach dem prozentualen Abfall gefragt.

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8,1*a²⁰ = 5,9

Analog einer Berechnung aus der Finanzwelt

Geldentwertung

Ein Betrag von 8.1 € ist in 20 Jahren nur noch 5.9 € wert.
Stelle eine Exponentialfunktion auf und berechne die jährliche Entwertung.

Answer 1

a)

f(x)  = k*x + f₀
f₀ = 8,1

f(20) = k*20 + 8,1

5,9 = k*20 + 8,1
k = -0,11

k = -0,11 mg/m gibt die Abnahme des O2-Gehaltes pro m an.

b)

f(30) = 4,8 mg/l

f(x) = -0,11*x + 8,1 = 0
x = 73,64 m

c)

f(x) = f₀*a^-x = f₀ * e^λx
f(20) = 8,1*a^-20 = 5,9 => a^-1 = 0,984279 => i = 1-a^-1 = 1,57%

λ = 1/ln(a^-1) = 0,015846

d)

f(30) = 5,035 mg/l
f(70) = 2,672 mg/l

( ( f(70)-f(30) ) / f(30) ) * 100 = -46,93%