Grüße chemweazle,
Zu
Gesamtdampfdruck einer binären Mischung , Raoult´sche – und Dalton´sche Beziehung
Dampfdrücke der reinen Flüssigkeiten A und B seien
p*A und p*B
Die Stoffmengenanteile in der Flüssigkeit lauten für die beiden Komponenten:
xA und xB mit xA + xB = 1
Die Stoffmengenanteile in der Gasphase der 2-Komponentenmischung lauten :
yA und yB
| $$y_{A} = \dfrac{p_{A}}{P_{total}} = \dfrac{p_{A}}{p_{A} + p_{B}}$$ | $$y_{B} = \dfrac{p_{B}}{P_{total}} = \dfrac{p_{B}}{p_{A} + p_{B}}$$ | $$y_{A} + y_{B} = 1$$ |
Raoult´sche Beziehung
pA = xA p*A und pB = xB p*B
Der Gesamtdampfdruck: ptotal = pA + pB
ptotal = xA p*A + xB p*B
Der Gesamtdampfdruck: ptotal in Abhängigkeit von dem Molenbruch, xA der flüchtigeren Flüssigkeit( mit dem größeren Dampfdruck), ptotal = f(xA)
Mit : xB = 1 - xA , ergibt sich für ptotal :
ptotal = xA p*A + ( 1 - xA ) p*B
Den Distributiv ausmultipliziert und Umordnung der Summanden, Ausklammern von des Molenbruchs von der der Flüssigkeit A, ergibt :
| ptotal = p*B + xA ( p*A - p*B ) |
Die in der Frage oben befindliche Gleichung beschreibt den Gesamtdampfdruck in Abhängigkeit vom Molenbruch der Komponente A in der Gasphase, yA, ptotal = f(yA)
Herleitungsweg : Substitution des Molenbruchs der Komponente A , xA in der Gleichung für den Gesamtdampfdruck, ptotal
In welcher Beziehung stehen der Stoffmengenanteil der Komponente A in der Flüssigkeit mit dem Molenbruch der Komponente A in der Gasmischung ?
Nach Raoult gilt , pA = xA p*A
⇒
$$x_{A} = \dfrac{p_{A}}{p^{*}_{A}}$$
Nach Dalton gilt für pA: pA = ptotal yA
Daraus folgt nach Substitution für xA:
$$x_{A} = \dfrac{p_{total}\cdot y_{A}}{p^{*}_{A}}$$
Das nun eingesetzt in die vorangegegangene Gleichung für den Gesamtdampfdruck nur in Abhängigkeit vom Molenbruch ,xA, liefert:
Vorangegangene Gleichung : ptotal = p*B + xA ( p*A - p*B )
$$p_{total} = p^{*}_{B} + \red{\dfrac{p_{total}\cdot y_{A}}{p^{*}_{A}}}\cdot ( p^{*}_{A} – p^{*}_{B} )$$
$$\dfrac{p^{*}_{A}\cdot p_{total} - p_{total}\cdot y_{A}\cdot ( p^{*}_{A} – p^{*}_{B} )}{p^{*}_{A}}$$
$$p^{*}_{A}\cdot p^{*}_{B} = p_{total}\cdot [ p^{*}_{A} - y_{A}\cdot ( p^{*}_{A} – p^{*}_{B} ) ]$$
$$\boxed{p_{total} = \dfrac{p^{*}_{A}\cdot p^{*}_{B}}{p^{*}_{A} - y_{A}\cdot ( p^{*}_{A} – p^{*}_{B} )}}$$
