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Änderung der Reaktionsenthalpie mit dem Druck
Um das Problem anzugehen, benötigen wir zunächst ein klares Verständnis des Zusammenhangs zwischen der Änderung der Gibbs'schen freien Enthalpie \( \Delta(\Delta_R G_m) \) und dem Druck \( p \), der durch die Gleichung \( \Delta(\Delta_R G_m) = \int_{1}^{2}\Delta V_m \cdot dp \) gegeben ist, wobei \( \Delta V_m \) die Änderung des molaren Volumens darstellt.
Da wir wissen, dass die druckbedingte Änderung der Reaktionsenthalpie negativ sein muss, um die positive freie Standardenthalpie \( \Delta_R G_m^0 \) von +1,05 kJ/mol zu kompensieren, können wir diesen Hinweis verwenden, um den Druck \( p_2 \) zu berechnen, bei dem Calcit und Aragonit im thermodynamischen Gleichgewicht stehen.
Zunächst nehmen wir an, dass die Minerale inkompressibel sind, was bedeutet, dass \( \Delta V_m \) konstant ist und nicht vom Druck abhängt. Diese Annahme vereinfacht unser Integral zu:
\( \Delta(\Delta_R G_m) = \Delta V_m \cdot (p_2 - p_1) \)
Wir lösen die Gleichung für \( p_2 \), da uns \( \Delta(\Delta_R G_m) \), \( \Delta V_m \), und \( p_1 \) interessieren. Allerdings gibt die Aufgabenstellung keine expliziten Werte für \( \Delta V_m \) und \( p_1 \) an, und der Ausdruck \( V_m = RT/p \) ist eher eine Angabe zum idealen Gasgesetz, das hier nicht direkt anwendbar ist, da wir von festen Stoffen (Mineralen) und nicht von Gas sprechen.
Der gegebene Wert von \( \Delta_R G_m^0 = 1,05 \) kJ/mol muss durch \( \Delta(\Delta_R G_m) \) ausgeglichen werden. Da keine direkten Werte für \( \Delta V_m \) und \( p_1 \) gegeben sind, formulieren wir die Lösung unter der Annahme der gegebenen Informationen:
\( -1,05 \, \text{kJ/mol} = \Delta V_m \cdot (p_2 - p_1) \)
Da \( \Delta V_m \) die Änderung des molaren Volumens zwischen Calcit und Aragonit darstellt, muss dieser Wert aus externen Quellen bezogen oder als gegeben betrachtet werden. Ohne einen expliziten Wert für \( \Delta V_m \) oder \( p_1 \), können wir das Problem nicht numerisch lösen. Die allgemeine Lösung für \( p_2 \) unter Berücksichtigung der negativen \( \Delta(\Delta_R G_m) \) zur Kompensation von \( \Delta_R G_m^0 \) lautet:
\( p_2 = p_1 - \frac{1,05 \, \text{kJ/mol}}{\Delta V_m} \)
Wobei \( p_1 \) der Anfangsdruck ist (den man normalerweise als Standardatmosphärendruck annehmen könnte, wenn nicht anders angegeben) und \( \Delta V_m \) aus einer externen Quelle für die spezifische Reaktion zwischen Calcit und Aragonit bezogen werden muss.
Im Kontext dieser Aufgabe ohne spezifische Werte kann kein numerisches Ergebnis für \( p_2 \) angegeben werden. Die Berechnung erfordert spezifische Werte für das Volumenänderung (\( \Delta V_m \)) zwischen Calcit und Aragonit sowie den Anfangsdruck \( p_1 \), was üblicherweise der Atmosphärendruck ist, sofern nicht anders angegeben.
