Antwort mit KI erzeugt
Lösungsschritt 1: Verstehen der Aufgabenstellung
Die Aufgabenstellung verlangt, dass eine Calciumchlorid-Lösung mit einem Massenanteil \(w_3 = 30\% \) hergestellt werden soll. Hierfür soll eine bestimmte Masse an trockenem, verunreinigtem Calciumchlorid mit einem Massenanteil \(w_1 = 93\% \) in eine vorbereitete Masse an Wasser gemischt werden. Die Masse des Wassers beträgt \(m_2 = 2,50 \) Tonnen (oder \(2500 \) kg, da \(1 \) Tonne \(= 1000 \) kg).
Lösungsschritt 2: Anwendung der Mischungsgleichung
Die Mischungsgleichung lautet:
\( m_1 \cdot w_1 + m_2 \cdot w_2 = m_3 \cdot w_3 \)
Hierbei sind:
- \(m_1\) die Masse des Calciumchlorids (zu berechnen),
- \(w_1 = 93\% = 0,93\) der Massenanteil des Calciumchlorids,
- \(m_2 = 2500 \) kg die Masse des Wassers,
- \(w_2 = 0\% = 0\) der Massenanteil des Wassers (da es reines Wasser ist),
- \(m_3\) die Gesamtmasse der Lösung,
- \(w_3 = 30\% = 0,30\) der gewünschte Massenanteil in der Lösung.
Lösungsschritt 3: Berechnung der Gesamtmasse \(m_3\)
Da wir wissen, dass die endgültige Lösung einen Massenanteil von \(w_3 = 30\%\) Calciumchlorid haben soll, lässt sich \(m_3\) indirekt über den Massenanteil des Wassers und der Tatsache berechnen, dass \(m_2\) ausschließlich Wasser ist. Doch, bevor wir das tun, ist es wichtig zu klären, dass in unserer Gleichung eigentlich ein direkter Weg fehlt, um \(m_3\) nur mit den gegebenen Werten zu berechnen.
Stattdessen konzentrieren wir uns darauf, wie viel reines Calciumchlorid nötig ist, und verwenden die Information, dass \(m_2\) ausschließlich Wasser ist.
Lösungsschritt 4: Berechnung der Masse \(m_1\) des Calciumchlorids
Wir stellen die Mischungsgleichung neu auf, um \(m_1\) zu finden. Da \(w_2 = 0\) (reines Wasser), vereinfacht sich die Formel zu:
\( m_1 \cdot w_1 = m_3 \cdot w_3 \)
Wir wissen, dass der gewünschte Massenanteil \(w_3 = 0,30\) ist, aber wir können \(m_3\) nicht direkt berechnen, ohne \(m_1\) zu kennen. Daraus folgt jedoch, dass der Anteil der Masse des gelösten Stoffes an der Gesamtmasse \(m_3\) der Lösung \(m_3 \cdot w_3\) beträgt.
Das Gewicht des reinen Calciumchlorids in \(m_1\) ist \(m_1 \cdot w_1\). Da dieses Gewicht gleich dem gewünschten Gewicht von Calciumchlorid in der finalen Lösung sein muss, setzen wir die Werte ein, die wir kennen, um \(m_1\) zu berechnen:
\( m_1 \cdot 0,93 = (2500 + m_1) \cdot 0,30 \)
Lösungsschritt 5: Auflösen nach \(m_1\)
Wir lösen die Gleichung nach \(m_1\) auf:
\( 0,93m_1 = 750 + 0,30m_1 \)
Bringen wir alle \(m_1\)-Terme auf eine Seite:
\( 0,93m_1 - 0,30m_1 = 750 \)
Führen Sie die Subtraktion aus:
\( 0,63m_1 = 750 \)
Teilen durch 0,63, um \(m_1\) zu isolieren:
\( m_1 = \frac{750}{0,63} \)
Rechnen aus:
\( m_1 \approx 1190,48 \text{ kg} \)
Fazit:
Um eine Calciumchlorid-Lösung mit einem Massenanteil von 30% zu erhalten, muss man ungefähr \(1190,48 \) kg trockenes, verunreinigtes Calciumchlorid, das einen Reinheitsgrad von \(93\%\) hat, in \(2500 \) kg Wasser einbringen.
