Wie lange dauert es, bis die N2O5-Konzentration auf 60 % der Ausgangskonzentration gefallen ist?

Question

Aufgabe:

Der Zerfall von N2O5 ist ein wichtiger Prozess in der Chemie der Atmosphäre. Der Zerfall folgt einem Geschwindigkeitsgesetz 1.. Ordnung mit einer Halbwertszeit von 2.05·104s.

Berechnen Sie, wie lange es dauert, bis die N2O5-Konzentration auf 60 % der Ausgangskonzentration gefallen ist.

Answer 1

Hi, here chemweazle,

Der  Zerfall  von  N₂O₅ist  ein  wichtiger  Prozess  in  der  Chemie  der  Atmosphäre.  Der  Zerfall folgt  einem Geschwindigkeitsgesetz1.  Ordnung  mit  einer  Halbwertszeit  von 2.05·10⁴s. Berechnen  Sie,  wie  lange  es  dauert,  bis  die  N2O5Konzentration  auf  60%  der Ausgangskonzentration gefallen ist.

Die Geschwindigkeitsproportionalitätskonstante ist nicht gegeben.
Aber die Halbwertszeit ist dafür bekannt.

Aus der Halbwertszeit kann zunächst die Geschwindigkeitsproportionalitätskonstante bestimmt werden.

Der Zerfall des Distickstoffpentoxides, dem Anhydrid der Salpetersäure
Reaktionsgleichung

2 N₂O₅ → 4 NO₂ + O₂

Diese Zerfallsreaktion ist eine irreversible Reaktion und gehorcht einem Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz (rate-law) 1ter Ordnung bzgl. dem Distickstoffpentoxid.

Abkürzungen:

Die Distickstoffpentoxidkonzentration c(N₂O₅)(t) zum Zeitpunkt t wird mit c(t) abgekürzt.

Die Ausgangskonzentration oder Startkonzentration von Distickstoffpentoxid zum Zeitpunkt t=0, c(N₂O₅)(0), wird mit c(0) abgekürzt.

Das integrierte Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz ist eine „Abklingfunktion“, also eine abfallende Exponentialfunktion, der Zeit.
$$c(t_{2}) = c(t_{1}) \cdot e^{-k\cdot t}$$

Best. der Geschwindigkeitsproportionalitätskonstante k mit der gegebenen Halbwertszeit.

Halbwertszeit: T_1/2= 2,05 10^{4} s = 20.500 s

Bei der Halbwertszeit ist die Konzentration nur halbmal der Ausgangskonzentration.

$$c(T_{1/2}) = \frac{1}{2}\cdot c(0)$$
bzw.

$$\dfrac{c(T_{1/2}) }{c(0)} = \frac{1}{2} = e^{-k\cdot T_{1/2}}$$

$$ln\left(\frac{1}{2}\right) = -k\cdot T_{1/2}$$

$$ln\left(\frac{1}{2}\right) = ln(1) – ln(2) = -k\cdot T_{1/2}$$

mit ln(1) = 0

$$k = \dfrac{ln(2)}{T_{1/2}}$$

Nun ist die Geschwindigkeitskonstante bestimmt, sie ist das Verhältnis(Quotient) aus dem natürlichen Logarithmus von 2 zur Halbwertszeit.

Nun kann man das Geschwindigkeits-Zeitgesetz auch so formulieren.

$$ln\left(\frac{c(t)}{c(0)}\right) = - \dfrac{ln(2)}{T_{1/2}}$$

Berechnen Sie, wie lange es dauert, bis die N₂O₅Konzentration auf 60% der Ausgangskonzentration gefallen ist.

$$\frac{c(t)}{c(0)} = 60\% = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$
$$ln\left(\frac{3}{5}\right) = ln(3) – ln(5) = - \dfrac{ln(2)}{T_{1/2}}\cdot t$$

$$t = \dfrac{ln(5) – ln(3)}{ln(2)}\cdot T_{1/2}$$

$$t = \dfrac{(1,6094 - 1,0986)}{0,6932}\cdot 2.05·10^{4}s$$

t = 1,5108 * 10⁴s;       t = 15.108s