Druck Innere Enegie und Wärme berechnen

Question

In einer geschlossenen Apparatur sollen 25L Stickstoff in einem isochoren Prozess von 20°C

auf 1000°C erhitzt werden. Der Druck zu Beginn des Experiments liegt bei 2.5 bar. Berechnen
Sie den Enddruck bei 1000°C, die Änderung der inneren Energie des Gases und die dem System
zugeführte Wärmemenge. Stickstoff soll hier als ideales zweiatomiges Gas betrachtet werden.

Anmerkung: Legen Sie hier besondere Aufmerksamkeit auf die Freiheitsgrade des Gases.

Answer 1

Hi, hier chemweazle,

Zu

Druck Innere Enegie und Wärme berechnen
In einer geschlossenen Apparatur sollen 25L Stickstoff in einem isochoren Prozess von 20°C

auf 1000°C erhitzt werden. Der Druck zu Beginn des Experiments liegt bei 2.5 bar. Berechnen
Sie den Enddruck bei 1000°C, die Änderung der inneren Energie des Gases und die dem System
zugeführte Wärmemenge. Stickstoff soll hier als ideales zweiatomiges Gas betrachtet werden.


Anmerkung: Legen Sie hier besondere Aufmerksamkeit auf die Freiheitsgrade des Gases.

Anfangszustand

V_A = 25 l, p_A = 2,5 bar, θ_A = 20^°C, T_A = 293,15 K

Endzustand nach dem isochoren Erhitzen auf T_E = 1273,15 K, θ_E = 1000^°C

Wichtig ist noch die Substanzmenge n(N₂) zur Berechnung der Änderung der Inneren Energie mittels der Wärmekapazität

$$n(N_{2}) = \frac{PV}{RT}$$

p_A= 2,5 bar = 250000 N / m² und V_A = 25 l = 0,025 m³

$$n(N_{2}) = \frac{250.000\cdot N\cdot 0,025\cdot m^{3}\cdot K\cdot mol}{m^{2}\cdot 8,314\cdot Nm\cdot 293,15\cdot K}$$

n(N₂) ≈ 2,564 mol

Die Druckerhöhung beim Erwärmen eines perfekten Gases bei Volumenkonstanz:

$$\frac{p_{E}}{p_{A}} = \frac{T_{E}}{T_{A}}$$
bzw.
$$p_{E} = p_{A}\cdot \frac{T_{E}}{T_{A}}$$
$$p_{E} = 2,5\cdot bar\cdot \frac{1273,15\cdot K}{293,15\cdot K}$$

p_E ≈ 2,5 bar * 4,343 = 10,8575 bar ≈ 10,858 bar

Die Änderung(Zuwachs) der Inneren Energie ΔU, gleich der zugeführten Wärme

Q = ΔU = n * C_v,m * ΔT

mit: ΔT = T_E - T_A = ( 1273,15 - 293,15 ) K = 980 K

Ein perfektes 2atomiges Gas hat bei nicht zu hohen Temperaturen 5 Freiheitsgrade, ohne Berücksichtigung der zusätzlichen 2 Schwingungsfreiheitsgrade. Davon 3 Freiheitsgrade für die Translationen (3/2 R) und 2 Freiheitsgrade der Rotation (2/2 R). Die Wärmekapazität bei konst. Volumen beträgt für bei Berücksichtigung der 5 Freiheitsgrade 5/2 R.

Δ U = q

$$\Delta U = n\cdot \frac{5}{2}\cdot \Delta T$$
$$\Delta U = 2,564\cdot mol\cdot 2,5\cdot \frac{8,314\cdot J}{K\cdot mol}\cdot 980\cdot K = 52226,885 J \approx 52,227 KJ$$
Das ist nur eine zu niedrige Abschätzung. Denn bei ca. 1000 K fallen die 2 Scchwingungsfreiheitsgrade ins Gewicht.
$$\Delta U = n\cdot \frac{7}{2}\cdot \Delta T = 1,4\cdot 52226,885 J = 73117,639 J \approx 73,118 KJ$$

Diese Abschätzung ist sicherlich für die Temperaturen im unteren Temperaturbereich des Intervalles zu groß.

Nun kann ich nicht beurteilen, bei welcher Temperatur die 2 Schwingungsfreiheitsgrade berücksicht werden können.

Vielleicht nimmt man einfach den Durchschnittswert der beiden Werte für die Änderung der Inneren Energie als Näherung.
Das heißt, man rechnet(schätzt) mit einer durchschnittlichen Wärmekapazität, also dem Mittelwert(Durchschnitt) von (7 / 2) R = 3,5 R und (5 / 2) R = 2,5 R.
$$\bar {C_{v,m}} = \frac{3,5 + 2,5}{2}\cdot R = 3 R$$

3R ≈ 24,942 * J * K^-1 * mol^-1

Δ U = 62672,262 J ≈ 62,672 KJ

3⁄2 R	1, 5 R	12,471 J * K-1 * mol-1
5⁄2 R	2,5 R	20,785 J * K-1 * mol-1
7⁄2 R	3,5 R	29,099 J * K-1 * mol-1

Zum Vergleich einige molare Wärmekapazitäten bei konst. Volumen für Stickstoff, Sauerstoff und CO bei verschiedenen Temperaturen in Kelvin.

T / K	273	373	473	773	1473	2273
Cv,m / J * K-1 *mol-1	20,0	21,1	21,5	22,0	24,1	26,4

Lit.: Grundlagen der Physikalischen Chemie, R. Brdička, Jg. 1985, 15. Aufl., S. 251