Gruß chemweazle,
Zu
Berechnen Sie die Endtemperatur mit der Adiabatengleichung.
Abkühlung einer aufsteigenden Thermikblase
Eine trockene Thermikblase hat am Boden (0m) eine Temperatur von 23°C (=296K).
Welche Temperatur erreicht sie beim adiabatischen Aufstieg auf 2500m Höhe?
Berechnen Sie die Endtemperatur mit der Adiabatengleichung.
Vergleichen Sie den Wert mit der Faustregel, dass die Temperatur in der Atmosphäre mit der Höhe um 1°C pro 100m abnimmt.
Hinweis: Vereinfachte barometrische Höhenformel (bei angenommener, Atmosphärentemperatur von 15°C (288K), und damit die Skalenhöhe 8.4km
p(0)/p= exp(h-h(0)/8,4km)
oder:
$$\frac{p}{p0} = e^{- (h - h0)/8,4 km} \approx e^{- 0,29762} \approx 0,743$$
h-h0 = 2,5 km - 0 km = 2,5 km
$$\frac{h - h0}{8,4\cdot km} = \frac{2,5\cdot km}{8,4\cdot km} = \approx 0,29762$$
bei h0 = 0 m herrscht der Standarddruck p0 = 1,013 bar
bei h = 2,5 km herrscht ein Druck von p = 0,743 * 1,013 ≈ 0,753 bar
Adiabatenkoeffizient (Luft) = 1.40 (Isentropenkoeeffizient) = κ oder γ
gegeben: h0= 0m, h=2500m, T(0) = 296.15K
um ein 1°C Abnahme pro 100m Aufstieg, dh. 2500m steigt er, -->2500/100= 25
müsste es doch um 25°C kühler werden nicht?--> -2°C?
gesucht : T2 = TE
Die Thermikblase gibt wohl keine Wärme an die Umgebung ab, noch nimmt sie Wärme auf. Also kein Wärmetausch mit der Umgebung, deshalb ein Abkühlen durch Volumarbeitabgabe an die Umgebung beim Expandieren, während des Aufstieges oder Erwärmung bei der Kompression, Aufnahme von Volumarbeit,das wäre der Fall beim Sinken.
Adiabatische Expansion: dq = 0, dU = - pdV
$$\frac{T_{E}}{T_{0}} = \left(\frac{V_{0}}{V_{E}}\right)^{\kappa - 1}$$
V0 : Volumen am Anfang, VE: Volumen am Ende in des Aufstieges in 2,5 km Höhe, p0: Druck bei der Höhe h = 0 m ,also der Standarddruck, pE: Druck in 2,5 km Höhe
mit:
$$\frac{T_{E}}{T_{0}} == \frac{p_{E}\cdot V_{E}}{p{0}\cdot V_{0}}$$
folgt durch Gleichsetzen der beiden Gleichungen und Ausmultiplizieren,
pE*VEκ = p0*V0κ
Gegeben sind nur die Drücke pE und p0, aus denen nun versucht wird, das Temperaturverhältnis TE / TA bzw. die Temperatur der aufgestiegenen und durch adiabatische Expansion abgekühlten Thermikblase in 2,5 km Höhe, TE, zu bestimmen.
mit : pE*VEκ = p0*V0κ, folgt:
$$\frac{p_{E}}{p_{0}} = \frac{V_{0}^{\kappa }}{V_{E}^{\kappa }} = \left(\frac{V_{0}}{V_{E}}\right)^{\kappa }$$
$$\Rightarrow \left(\frac{p_{E}}{p_{0}}\right)^{\frac{1}{\kappa} } = \frac{V_{0}}{V_{E}}$$
bzw.
$$\frac{T_{E}}{T_{0}} = \left(\frac{p_{E}}{p_{0}}\right)^{\frac{\kappa - 1}{\kappa} }$$
$$mit \kappa = 1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$$
und
$$ \kappa - 1 = 0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$
und $$\frac{\kappa - 1}{\kappa} = \frac{2}{7}$$
$$\frac{T_{E}}{T_{0}} = \left(\frac{p_{E}}{p_{0}}\right)^{\frac{2}{7} }$$
$$\frac{T_{E}}{T_{0}} = \sqrt[7]{\frac{p_{E}^{2}}{p_{0}^{2}}}$$
$$\frac{T_{E}}{T_{0}} = \sqrt[7]{\frac{ 0,753^{2}\cdot bar^{2}}{1,013^{2}\cdot bar^{2}}}$$
$$\frac{T_{E}}{T_{0}} \approx 0,919 \approx 0,92$$
TE = T0 * 0,92 = 296 K * 0,92 = 272,32 K, entprechend -0,83°C, gerundet - 1 °C
Zum Vergleich , wie Du schon richtig gerechnet hast, eine Temperaturabnahme, Δθ - 25°C, beim Aufstieg in 2500 m Höhe mit der Temperaturabnahme von 1 Grad pro 100 m Höhenzuwachs.
Nach dieser Schätzformel hätte sich die Thermikblase von 23 °C auf - 2°C abgekühlt.
