Als erstes, zur Rettung meiner Ehre: In Deiner Aufgabenstellung steht k1=0,4, auf Deinem Foto kann ich jedoch gerade so erkennen, dass k4 = 0,4... Also lag der Fehler bestimmt bei Dir :)) .... Nun, das tut aber im Grunde nichts zur Sache.
Das von mir angesetzte Verfahren kenne ich aus einem biologischen Kontext, da damit im Allgemeinen Populationsentwicklungen beschrieben werden. Mathematisch ist es im Grunde die hintereinander-Ausführung einer Abbildung mit der Abbildungsmatrix A. Mit der von Dir angesprochenen Skalierung der Konzentrationsänderung (klingt Vl.. besser als Geschwindigkeit?) auf Sekunden kannst Du natürlich die Auflösung der Ergebnismenge erhöhen. Das Schöne ist, dass Du, von Rundungsfehlern (deren Ausmaß im Grunde frei wählbar ist) abgesehen, exakt rechnest, also keine Näherungsverfahren anwendest. Ebenso kannst Du die Anzahl der Referenzpunkte, zumindest theoretisch, beliebig erhöhen, dann ändert sich einfach die Dimension m der Matrix.
Das "theoretisch" impliziert dabei einen Haken und der findet sich schnell im Rechenaufwand der für die notwendigen Multiplikationen eingekauft werden muss. Multipliziert man die Matrizen nach Definition, ergeben sich bei der Multiplikation einer m×m-Matrix mit sich selbst m^3 Multiplikationen. Um also einen Zeitschritt abzubilden benötigst du in Deinem Beispiel bereits 64 Multiplikationen. Das klingt zunächst nicht viel, aber ich habe zum Beispiel auf 32 Minuten hin gerechnet (dabei aber nur für 2,4,8,16 Minuten die Matrizen berechnet, also ohne die dazwischenliegenden Werte). möchtest Du den selben Zeitraum in Sekunden auflösen, musst Du folglich die Matrix (mit Konzentrationsänderungen von k/60) 32*60=1920 mal multiplizieren. das sind dann 1920*64=122880 Multiplikationen. löst Du noch feiner auf, zum Beispiel Millisekunden landen wir schon bei 122 880 000 Operationen. Nehmen wir nun 10 statt 4 Referenzpunkte, sind wir bei grandiosen 10^3*32*60*1000=1,92 Milliarden Operationen (ohne die zugehörigen Additionen). Es ist wird schnell klar, dass dies ohne geeignete Software (die nah am Kern rechnen können sollte, Excel macht das nicht, da läuft parallel zu viel Systemkram) nicht möglich ist, wird da schnell klar.
Die von Dir benutze Software, wird im übrigen genauso vorgehen, also für jeden Zeitschrift die Konzentration ausrechnen und dann wieder mit A multiplizieren. Die errechneten Konzentrationen werden dann über t aufgetragen und in den Zwischenräumen in geeigneter Weise interpoliert. Mit diesen Stützstellen und der Simpsonregel liesse auch direkt ein Integral nähern. Braucht man eine analytische Funktion zur Beschreibung des Konzentrationsverlaufs kann man natürlich in geeigneter Weise regressieren bzw. eine Funktionsgleichung mit einem geeigneten Ansatz ermitteln (da die einzelnen Stützstellen ja exakt sind und nur aufgrund der Rundungsfehler streuen).
Dein Beispiel in Excel zu rechnen ist aber sicher möglich. Will man das mit den eingebauten Funktionen in jeder Zelle machen, wird das schnell unübersichtlich, da hast Du vollkommen recht. Besser man programmiert sich da mal was in VBA (damit kann man das ganze Office-Paket steuern).
Ich habe jetzt jedenfalls Blut geleckt und werde die kommenden freien Tage mal nutzen und mir meinen eigenen MatrizenMultiplikator in Excel machen. Ich melde mich wieder... :)
