Lennard-Jones Potential: Wechselwirkung von Molekülen und Atomen

Question

Aufgabe:

Eine häufige Funktion zur Beschreibung der Wechselwirkung von 2 Molekülen oder Atomen mit Abstand \( r \) ist das Lennard-Jones Potential
$$ U(r)=\frac{B}{r^{12}}-\frac{A}{r^{6}} $$
mit den Koeffizienten \( A=4 \epsilon \sigma^{6} \) und \( B=4 \epsilon \sigma^{12} \)

a) In welchem Abstand \( r_{m} \) ist die potentielle Energie \( U(r) \) am geringsten? Welchen Wert nimmt das Potential an der Stelle \( r_{m} \) an?

b) Entwickeln Sie das Potential \( U(r) \) um \( r_{m} \) in eine Taylorreihe bis zur zweiten Ordnung (harmonische Näherung).

c) Vergleichen Sie den Term 2. Ordnung der Taylorentwicklung mit dem harmonischen Potential eines Federschwingers! Bestimmen Sie nun die Federkonstante \( \mathrm{k} \) für Argon. \( \left(\epsilon=167 \cdot 10^{-23} \mathrm{J}, \quad \sigma=340 \cdot 10^{-12} \mathrm{m}, \quad \text { und } r_{m}=378 \cdot 10^{-12} \mathrm{m}\right) \)

Ansatz:

\( U(r)=\frac{B}{r^{12}}-\frac{A}{r^{6}} \)
\( U(r)=\frac{4 \varepsilon \sigma^{12}}{r^{12}}-\frac{4 \varepsilon \sigma^{6}}{r^{6}}=\frac{\varepsilon r_{m}^{12}}{r^{12}}-2 \frac{\varepsilon r_{m}^{6}}{r^{6}} \)
\( \Phi(z)=\Phi\left(z_{0}\right) \)
\( + \Phi^{\prime}\left(z_{0}\right) · \left(z-z_{0}\right) \)
\( + \frac{1}{2} · \Phi^{\prime \prime}\left(z_{0}\right) · \left(z-z_{0}\right)^{2} \)
\( + \frac{1}{6} · \Phi^{\prime \prime \prime}\left(z_{0}\right) · \left(z-z_{0}\right)^{3} \)
\( + \ldots \)

Answer 1

Hm ja, ich würde das folgendermaßen lösen:

zu a) Hier muss man die Funktion U(r) hinsichtlich der Extremwerte und deren Art untersuchen, d. h. U'(r) und U''(r) bilden

U(r) = B*r^-12 + A*r^-6

-> U'(r)  = -12*B*r^-13  - 6*A*r^-7, dies Null setzen (notwendiges Kriterium für ein Extremum)

-> -12*B*r^-13  - 6*A*r^-7 = 0 -> 12*B*r^-6  - 6*A = 0 -> 12*B*r^-6  = 6*A -> r⁶ = 2*B/A

Mit den Angaben von oben ergibt sich r = (2)^1/6*σ

-> U''(r) = 156*B*r^-14 + 42*A*r^-8, da alle Größen >0 sind, folgt  U''(r) > 0 -> r_min = (2)^1/6*σ

zu b) Taylorreihenentwicklung von U um den Punkt r_min

U(r) = U(r_min) + U'(r_min)*(r - r_min) + 0,5*U''(r_min)*(r - r_min)²

zu c) Der 2. Term ist  0,5*U''(r_min)*(r - r_min)²

Hier kürze ich aus Zeitgründen ab. Man kann zeigen, dass die Federkonstante k gleich der 2. Ableitung des Potentials an der Stelle r_min ist.

-> k = U''(r_min)

Comments

Vielen Dank für deine schnelle Antwort! Ich hätte nicht gedacht, dass man die Aufgabe so lösen kann. Es ist eine neue Thematik und da muss ich nochmals alle Rechenschritte durchgehen und verinnerlichen. Auf jeden Fall gibt es für die ausführlichen und vor allem nachvollziehbaren Rechenschritte einen Punkt sowie einen Stern.

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Kurze Nachfrage: Kommt bei c) für Argon diese Federkonstante raus?

k=U''(r_m)
k=2^{1/6*340*₁₀-12_m}≈3,818370964*1^-10 oder muss ich diese Gleichung verwenden, wegen ε:

U''(r) = 156*B*r^-14 + 42*A*r^-8

Aber dann kommen viel zu hohe Exponenten raus wie z.B. über hoch ^-70

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Ich würde sagen die Gleichung U''(r) = 156*B*r^-14 + 42*A*r^-8 verwenden und für r r_min einsetzen. Dann kommt für k ein Wert von ca. 2 heraus.