Frohe Weihnachten, hier chemweazle,
Volumen berechnen mit dem Raoult´schen Gesetz
Wir verfügen über eine ideale Mischung aus Aceton (C3H6O) und Chloroform (CHCl3), bei welcher der Molenbruch von CHCl3 0,4693 beträgt. Die partiellen Volumina betragen 76.166 cm3 mol−1 für Aceton und 80.235 cm3 mol−1 für CHCl3.
Welches Volumen nehmen nun 1000 g dieser Mischung ein? Es soll mit dem Raoult´schen Gesetz gerechnet werden.
Ich habe folgende Werte gegeben:
- M(C) = 12,01 g mol−1 , - M(H) = 1,008 g mol−1 , - M(O) = 16,00 g mol−1 , - M(Cl) = 35,45 g mol−1
Stichworte: Ideale, binäre Mischung 2er Flüssigkeiten, Partielles Molvolumen, spezifisches Partialvolumen, Molenbruch, Stoffemengenanteil, Massenanteil
Molare Volumina der beiden reinen Flüssigkeiten, Chloroform (1) und Aceton (2)
$$V_{m, 1} = \dfrac{V_{1}}{n_{1}}$$
$$V_{m, 2} = \dfrac{V_{2}}{n_{2}}$$
V sei das Volumen der idealen, binären Mischung und es gibt bei einer idealen Mischbarkeit keine Volumenkontraktion oder Volumendilatation
Das Volumen der Mischung ist ohne Abweichung die Summe der einzelnen Volumina der vermischten Flüssigkeiten.
V = V1 + V2
Und es gilt mit den Molvolumina: V1 = Vm, 1 * n1 und V2 = Vm, 2 * n2
V = Vm, 1 * n1 + Vm, 2 * n2
$$ V = V_{m, 1}\cdot n_{1} + V_{m, 2}\cdot n_{2}$$
$$V_{m} = \frac{V}{n} = \dfrac{V}{n_{1} + n_{2}} $$
$$V_{m} = V_{m, 1}\cdot \dfrac{n_{1}}{n_{1} + n_{2}} + V_{m, 2}\cdot \dfrac{n_{2}}{n_{1} + n_{2}}$$
$$V_{m} = V_{m, 1}\cdot x_{1} + V_{m, 2}\cdot x_{2}$$
Anstelle mit den molaren , auf die Stoffmenge bezogenen, Größen, kann man auch mit den auf die einzelnen Massen bezogenen Teilvolumina(Partialvolumina) arbeiten.
Analog mit den Spezifischen Partialvolumina
$$V_{s, 1} = \dfrac{V_{1}}{m_{1}}$$
$$V_{s, 2} = \dfrac{V_{2}}{m_{2}}$$
Für die Berechnung einer idealen Flüssigkeitsmischung könnte man auch die Kehrwerte der Dichten der reinen Flüssigkeiten als die spezifischen Partialvolumina verwenden.
$$V_{s, 1} = \dfrac{1}{\varrho_{1}}$$
$$V = V_{s, 1}\cdot m_{1} + V_{s, 2}\cdot m_{2}$$
$$V_{s} = \frac{V}{m} = \dfrac{V}{m_{1} + m_{2}}$$
$$V_{s} = V_{s, 1}\cdot \dfrac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} + V_{s, 2}\cdot \dfrac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}}$$
$$V_{s} = V_{s, 1}\cdot w_{1} + V_{s,2}\cdot w_{2}$$
$$V_{s} = V_{s, 1}\cdot w_{1} + V_{s,2}\cdot (1 - w_{1})$$
Es ist die Gesamtmasse, m = m1 + m2, der idealen, binären Mischung gegeben.
Weiterhin sind die Partiellen Molvolumina der beiden Komponenten gegeben.
Man könnte u.a. mit den Partiellen spezifischen Volumina, diese lassen sich mittels den beiden Molmassen aus den Partiellen Molvolumina berechnen, und den gegeben Stoffmengenanteil(Molenbruch) in den Massenanteil umrechnen.
Zusammenhang zwischen dem Partiellen Molvolumen und dem Partiellen spezifischen Volumen einer Komponente.
$$\red{V_{m}} = \red{\frac{V}{n}}$$
$$V_{s} = \frac{V}{m} = \red{\frac{V}{n}}\cdot \frac{1}{M} = \frac{1}{M}\cdot \red{\frac{V}{n}} = \frac\red{{V_{m}}}{M}$$
Berechnung des zugehörigen Massenanteils bei gegebenen Molenbruch(Stoffmengenanteil)
w = f(x)
Folgende Substitutionen liefern die Verknüpfung der Masse mit der Stoffmenge und dem Stoffmengenanteil
Mit : m1 = n1 * M1 und n1 = n * x1 usw. , eingesetzt in den Bruchterm des Massenanteils, w1
$$w_{1} = \dfrac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}}$$
1. Substitution, mit : m = n * M
$$w_{1} = \dfrac{n_{1}\cdot M_{1}}{n_{1}\cdot M_{1} + n_{2}\cdot M_{2}}$$
2. Substitution, mit : ni = xi * n, n : Gesamtstoffmenge, n = n1 + n2
$$w_{1} = \dfrac{x_{1}\cdot n\cdot M_{1}}{x_{1}\cdot n\cdot M_{1} + x_{2}\cdot n\cdot M_{2}}$$
Ausklammern des Faktors n, Gesamtstoffmenge im Nenner nach dem Distributivgesetz, liefert für den Massenanteil der Komponente 1, w1 :
$$w_{1} = \dfrac{x_{1}\cdot n\cdot M_{1}}{n\cdot (x_{1}\cdot M_{1} + x_{2}\cdot M_{2})}$$
$$w_{1} = \dfrac{x_{1}\cdot M_{1}}{x_{1}\cdot M_{1} + x_{2}\cdot M_{2}}$$
Mit x2 = 1 - x1, folgt :
$$w_{1} = \dfrac{x_{1}\cdot M_{1}}{x_{1}\cdot M_{1} + (1 - x_{1})\cdot M_{2}}$$
$$w_{1} = \dfrac{x_{1}\cdot M_{1}}{x_{1}\cdot (M_{1} - M_{2}) + M_{2}}$$
Molmassen von Trichlormethan(Chloroform) und Aceton(Propanon)
M(CHCl3) = ( 12,01+1,008+35,45*3 ) g / mol = 119,368 g / mol
M(C3H6O) = ( 12,01*3+1,008*6+16 ) g / mol = 58,078 g / mol
x1 = x(CHCl3) = 0,4693
$$w_{1} = \dfrac{0,4693\cdot 119,368\cdot g\cdot mol}{(0,4693\cdot (119,368 - 58,078) + 58,078)\cdot g\cdot mol}$$
$$w_{1} \approx 0,6451$$
Die spezifischen Partiellen Volumina aus den geg. Partiellen Molvolumina
Chloroform
$$V_{s,1} = \dfrac{76,166\cdot cm^{3}\cdot mol}{mol\cdot 119,368\cdot g}$$
$$V_{s,1} \approx 0,638\cdot \dfrac{cm^{3}}{g}$$
Aceton
$$V_{s,2} = \dfrac{80,235\cdot cm^{3}\cdot mol}{mol\cdot 58,078\cdot g}$$
$$V_{s,2} \approx 1,382\cdot \dfrac{cm^{3}}{g}$$
Das spezifische Volumen der Mischung, Gemischvolumen pro Masseneinheit, Gemischvolumen pro g
$$V_{s} = V_{s, 1}\cdot w_{1} + V_{s,2}\cdot (1 - w_{1})$$
$$V_{s} = 0,638\cdot \dfrac{cm^{3}}{g}\cdot 0,4693 + 1,382\cdot \dfrac{cm^{3}}{g}\cdot (1 - 0,4693)$$
$$V_{s} \approx 0,2994\cdot \dfrac{cm^{3}}{g} + 0,7334\cdot \dfrac{cm^{3}}{g}$$
$$V_{s} \approx 1,0328\cdot \dfrac{cm^{3}}{g}$$
Gemischvolumen der Masse von 1000 g
$$V = V_{s}\cdot m = V_{s}\cdot (m_{1} + m_{2}) = 1,0328\cdot \dfrac{cm^{3}}{g}\cdot 1000\cdot g \approx 1032,8\cdot cm^{3} = 1032,8\cdot ml = 1,0328\cdot l$$
