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Dampfdruck \(p_{\text{gesamt}}\)
Zuerst bestimmen wir den Gesamtdampfdruck der Mischung unter Verwendung des Raoult'schen Gesetzes. Das Raoult'sche Gesetz besagt, dass der Partialdampfdruck eines Stoffes in einem idealen Gemisch proportional zu seinem Molanteil in der flüssigen Phase und seinem Reinstoffdampfdruck ist.
Da beide Stoffe in aquimolaren Mengen vorliegen, sind ihre Molanteile in der flüssigen Phase jeweils \(x^l_{HX} = 0,5\) und \(x^l_{HP} = 0,5\).
Die Partialdampfdrücke für jeden Stoff lauten damit:
\(
p_{HX} = x^l_{HX} \cdot p_{HX}^0 = 0,5 \cdot 142\,\text{kPa} = 71\,\text{kPa}
\)
\(
p_{HP} = x^l_{HP} \cdot p_{HP}^0 = 0,5 \cdot 57\,\text{kPa} = 28,5\,\text{kPa}
\)
Der Gesamtdampfdruck des Gemisches ergibt sich aus der Summe der Partialdampfdrücke:
\(
p_{\text{gesamt}} = p_{HX} + p_{HP} = 71\,\text{kPa} + 28,5\,\text{kPa} = 99,5\,\text{kPa}
\)
Molare Mischungsentropie \(\Delta S_m\) in der Gasphase
Die molare Mischungsentropie für die Gasphase lässt sich bestimmen, indem man die Vermischung als ideal ansieht. Die Änderung der Entropie aufgrund der Vermischung (bei konstanter Temperatur und Druck) von zwei idealen Gasen ist gegeben durch:
\(
\Delta S_m = -R \cdot \left( x_{HX}^g \ln(x_{HX}^g) + x_{HP}^g \ln(x_{HP}^g) \right)
\)
Um \(x_{HX}^g\) und \(x_{HP}^g\) zu bestimmen, müssen wir zuerst die Molfraktionen der beiden Komponenten in der Dampfphase ausrechnen. Mit der gegebenen Formel und unter der Annahme, dass \(x^l_{A}\) und \(x^l_{B}\) die Molanteile von Hexan (\(HX\)) bzw. Heptan (\(HP\)) in der flüssigen Phase repräsentieren:
\(
x_{HX}^g = \frac{x^l_{HX} \cdot p_{HX}^0}{p_{\text{gesamt}}} = \frac{0,5 \cdot 142}{99,5} \approx 0,714
\)
\(
x_{HP}^g = \frac{x^l_{HP} \cdot p_{HP}^0}{p_{\text{gesamt}}} = \frac{0,5 \cdot 57}{99,5} \approx 0,286
\)
Für die Berechnung der molaren Mischungsentropie \(\Delta S_m\) setzen wir \(R = 8,314\, \text{J/(mol·K)}\) (allgemeine Gaskonstante) und die oben berechneten Werte für \(x_{HX}^g\) und \(x_{HP}^g\) in die Gleichung ein:
\(
\Delta S_m = -8,314 \cdot \left( 0,714 \ln(0,714) + 0,286 \ln(0,286) \right)
\)
\(
\Delta S_m = -8,314 \cdot \left( 0,714 \cdot (-0,338) + 0,286 \cdot (-1,250) \right)
\)
\(
\Delta S_m = -8,314 \cdot (-0,471)
\)
\(
\Delta S_m \approx 3,92\, \text{J/(mol·K)}
\)
Zusammenfassung:
- Der Gesamtdampfdruck des Gemisches, \(p_{\text{gesamt}}\), beträgt \(99,5\, \text{kPa}\).
- Die molare Mischungsentropie in der Gasphase, \(\Delta S_m\), beträgt etwa \(3,92\, \text{J/(mol·K)}\).
